Lion D.

$n$th positive number that is not a perfect square를 $a_n$이라 하자. 그러면 $a_n = n + \{\sqrt n\}$을 만족한다. (이때 $\{x\}$는 nearest integer of $x$.) $a_n$ 보다 작은 positive perfect square의 개수는 $[\sqrt {a_n}]$이므로 $n + [\sqrt {a_n}] = a_n$을 만족한다. (이때 $[x]$는 floor function.) $m = [\sqrt {a_n}]$으로 두면$$ m < \sqrt {a_n} < m+1, m^2 < a_n < m^2 + 2m + 1 $$이 성립한다. 그런데 $a_n$이 정수이므로 $m^2 + 1 \le a_n \le m^2 + 2m $이 성립하고,..

topological space $X$의 open, path-connected subset $U, V$에 대하여, $X = U \cup V$ 그리고 $U \cap V$가 path-connected라 하자. $i_U: \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(U)$, $i_V: \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(V)$가 induced homomorphism이라 할 때, 다음이 성립한다.$$ \pi_1(X) \cong (\pi_1(U) * \pi_1(V))/N(R) $$이때 $R = \{i_U(w)i_V(w)^{-1} | w \in \pi_1(U \cap V)\}$이고, $N(R)$은 $R$의 normal closure. inclusion에서 induced되는 homomorphism을 이용..

$n$개의 서로 다른 점 $p_1, \cdots, p_n \in \mathbb R^2$에 대하여, $X = \mathbb R^2 - \{p_1, \cdots, p_n\}$의 fundamental group 을 구하여라. 1) 먼저, 적당한 회전을 통하여 모든 점들의 $x$ 좌표가 다르도록 만들자.서로 다른 두 점 $(x_i, y_i)$, $(x_j, y_j)$에 대하여, 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전시켰을 때 각 $x$ 좌표는 다음과 같다.$$ x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta = x_2 \cos \theta - y_2 \sin \theta $$그런데 이 식을 정리해서 양변을 제곱하면 $\cos \theta$에 대한 다항 방정식이 되므로, 이 식의 해는 유한하다. 따..

lower-limit topology 등으로도 불리는, $\mathbb R_{[\;)}$은 실수에다가 $\mathcal B = \{[a, b)| a, b \in \mathbb R\}$의 base가 만드는 위상을 준 것이다. 이 위상은 위상수학에서 굉장히 많은 명제의 반례로 쓰이면서 또 다른 반례인 $S_{\Omega}$(가장 작은 uncountable ordinal)보다 더 쉽다. (ordinal에 대해서 일단 잘 알아야 하므로...) $\mathbb R_{[\;)}$이 만족하는 성질은 다음과 같다.1. $T_4$. (Hausdorff and normal)2. first-countable but not second-countable.3. Lindelof, separable(by $\mathbb Q$)4...

Definition. toplogical space $X$, compact space $K$에 대하여 embedding $h: X \to K$가 있다고 하자. 이때 $\overline{h(X)}$를 $X$의 compactification이라 한다. usual topology를 가진 interval $(0,1)$을 생각해 보자. $(0,1)$의 compactification은 여러가지가 있다.$h: t \mapsto e^{2\pi i t}$. 이때 compactification은 $S^1$.$h: t \mapsto t$. 이때 compactification은 $[0,1]$.$h: t \mapsto \sin(1/t)$. 이때 compactification은 closure of topologist's sine..

이전 글에서 임의의 유한한 군 $G$과 소수 $p$에 대하여 $\mathsf{Syl}_p(G) \ne \emptyset$임을 보였다. 이제 Sylow $p$-subgroup의 존재성을 보였으니, 그 다음으로 Sylow $p$-subgroup이 얼마나 존재하는지 알아보자. 먼저 다음 보조정리는 쉽게 관찰할 수 있다.$P \in \mathsf{Syl}_p (G)$, $g \in G$에 대하여, $gPg^{-1} \in \mathsf{Syl}_p (G)$.이건 뭐 증명이 필요 없겠지. 이제 $\mathsf{cls}(P) = \{gPg^{-1}| g \in G\}$는 $\mathsf{Syl}_p (G)$의 subset이 된다. 우리가 보이고 싶은 것은, 두 집합이 같다는 것이다. group action을 이용해..

이 글은 군의 작용, 특히 class equation에 알고 있는 것을 전제로 한다.아마 Sylow's theorem을 배울 때이면 Lagrange's theorem은 이미 알고 있을 것이다.[Lagrange's theorem] 유한한 군 $G$에 대하여, $H \le G$이면, $|H||G:H| = |G|$를 만족한다. 따라서 $|L| | |G| $. 군론은 적당한 단서가 주어진 군의 구조가 어떻게 되는지를 연구하면서 발전해 왔다. 군의 구조를 밝히는 방법 중 하나는 군의 subgroup lattice를 아는 것이다. (그러나 아쉽게도 lattice가 같다고 군이 isomorphic하진 않다) Lagrange theorem은 위수가 주어진 군에 대해서 그 군의 부분군의 위수가 특정한 값임을 알려준다. ..

$\mathbb R$에서, uncountable subset은 limit point를 가진다. $A \subseteq \mathbb R$이 uncountable 하다고 하자. $\mathbb R$이 countable basis $\mathcal B = \{(a,b)|a,b\in \mathbb Q\}$를 가지므로, $A \cap (a,b)$가 uncountable인 $a, b \in \mathbb Q$가 존재한다. 따라서 $A$가 bounded라고 가정해도 충분하고, 그 경우 Boltzano-Weierstrass theorem에 의해 limit point를 가진다.

measurable set에 대해 아직 남은 정리가 몇 개 더 있다.interval $I$는 measurable. 증명. 앞 정리에 의해, $I = (a, \infty)$ 꼴이 measurable임을 보이면 충분하다. 임의의 집합 $X \subseteq \mathbb R$과 $\epsilon > 0$에 대하여, 측도의 정의에서 다음을 만족하는 open interval $I_n$이 존재한다.$$ X \subseteq \bigcup _{n=1} ^\infty I_n, \quad \sum _{n=1} ^\infty \lambda(I_n) < \mu(X) +\epsilon $$$J_n = I_n \cap (a, \infty)$, $K_n = I_n \cap (-\infty, a)$라 두면 $J_n, K_n$은 ..

지금까지 Lebesgue measure를 정의했다. 아니, Lebesgue 'outer' measure를 정의했다. 'outer' 는 무슨 뜻인가 하면, countable additivity 대신 countable subadditvity 를 만족한다는 것이다. 그러나 적당한 집합족 $\mathcal A \subseteq \mathcal P(\mathbb R)$를 잡으면 이 안에서는 countable addtivity가 성립하는데, 여러 가지 방법이 있지만 여기서는 가장 쉬운 것만 소개한다.[Caratheodory's Criterion] $E \subseteq \mathbb R$. $E$가 측도 가능(가측, measurable)일 조건은 모든 $X \subseteq \mathbb R$에 대하여,$$ \mu..