n-times punctured plane

$n$개의 서로 다른 점 $p_1, \cdots, p_n \in \mathbb R^2$에 대하여, $X = \mathbb R^2 - \{p_1, \cdots, p_n\}$의 fundamental group 을 구하여라.

1) 먼저, 적당한 회전을 통하여 모든 점들의 $x$ 좌표가 다르도록 만들자.

서로 다른 두 점 $(x_i, y_i)$, $(x_j, y_j)$에 대하여, 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전시켰을 때 각 $x$ 좌표는 다음과 같다.

$$ x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta = x_2 \cos \theta - y_2 \sin \theta $$

그런데 이 식을 정리해서 양변을 제곱하면 $\cos \theta$에 대한 다항 방정식이 되므로, 이 식의 해는 유한하다. 따라서 $n(n-1)/2$ 개의 모든 쌍 중 하나라도 $x$ 좌표가 서로 일치하는 경우는 유한하고, $\theta$는 당연히 $[0, 2\pi)$ 중 유한한 경우를 제외한 것에서 선택하면 된다.

2) 이제 모든 점을 지나는 함수 $f: \mathbb R \to \mathbb R$의 그래프를 생각하자. 이 함수는 라그랑지 보간법으로 잡을 수도 있고, 아니면 그냥 line segment를 이어 만들어도 상관없다. 이때 함수 $ \Phi: X \to \mathbb R^2$를

$$ \Phi(x,y) = (x, y- f(x)) $$

로 두면 이 함수의 codomain을 image로 restrict했을 때 $\Phi$는 homeomorphism이 된다. 그 image를 $Y = \mathbb R^2 - \{(x_1, 0), \cdots, (x_k, 0)\}$이라 하면, 적당히 $x$축을 stretching 해 줌으로써, 각 구멍 간의 간격을 일정하게 만들 수 있다.

($\because$) 일반성을 잃지 않고, $x_1 < \cdots < x_n$이라 가정하자. $(x_1, 1), (x_2, 2), \cdots, (x_n, n)$을 지나는 strictly increasing continuous function $g: \mathbb R \to \mathbb R$을 잡을 수 있다. (적당히 line segment를 붙여서 만든다) 이때 함수 $ \Psi: Y \to \mathbb R^2$를

$$ \Psi(x,y) = (g(x), y) $$

로 두면 마찬가지로, 이 함수는 homeomorphism이 되고 그 image가 우리가 원하는 공간이 된다.

3)  이제 아래 그림과 같은 과정을 통해 주어진 공간이 $n$개의 $S^1$을 차례로 연결해 놓은 공간으로 deform retract한다는 것을 알 수 있다.

이 공간의 fundamental group은 Van Kampen theorem과 induction을 이용하면 free group of rank $n$, $F_n$임을 알 수 있다.