Lion D.

이전 글에서, 볼록 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다.임의의 $x \in [a,b]$에 대하여$$ \lim _{y \to x-} \frac { f(y) - f(x)} {y-x}, \quad \lim _{y \to x+} \frac{f(y) - f(x)} {y-x} $$가 $\mathbb{R}$에서 존재한다. 따라서,$$ \lim _{y \to x-} (f(y) - f(x)) = \lim _{y \to x+} (f(y) - f(x)) = 0 $$임을 알 수 있다. 즉 $f$는 $x$에서 연속이다. 요컨대 $f$는 $[a,b]$에서 연속이다.

볼록 함수의 정의는 다음과 같다.$ f : [a,b] \to \mathbb{R}$이 $[a,b]$에서 볼록일 필요충분조건은 임의의 $x, y \in [a,b]$, $t \in [0,1]$에 대하여$$ f((1-t)x+ ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$$이 성립하는 것이다.다음을 보일 것이다.볼록 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$와 임의의 $x \in [a,b]$에 대하여 함수 $g: [a,b] \setminus \{x\} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 두자. $$ g(t) = \frac { f(t) - f(x) } {t-x} $$이때 $g$는 단조증가함수이다.임의의 $a \le t < u \le b$에 대하여, $t < x < u$라고 가정하자.$$ f(x)..