Measure Theory (4): measurable set #1

지금까지 Lebesgue measure를 정의했다. 아니, Lebesgue 'outer' measure를 정의했다. 'outer' 는 무슨 뜻인가 하면, countable additivity 대신 countable subadditvity 를 만족한다는 것이다. 그러나 적당한 집합족 $\mathcal A \subseteq \mathcal P(\mathbb R)$를 잡으면 이 안에서는 countable addtivity가 성립하는데, 여러 가지 방법이 있지만 여기서는 가장 쉬운 것만 소개한다.

[Caratheodory's Criterion] $E \subseteq \mathbb R$. $E$가 측도 가능(가측, measurable)일 조건은 모든 $X \subseteq \mathbb R$에 대하여,

$$ \mu(X) = \mu(X \cap E) + \mu(X \cap E^c) $$

가 성립하는 것이다. $\mathcal M$을 이 조건을 만족하는 모든 집합을 모은 집합족이라 하자.

countable subadditvity에서, $\mu (X)  \le \mu(X \cap E) + \mu(X \cap E^c)$는 항상 참임을 유의하자. 이제 다음이 성립한다.

i) $\emptyset \in \mathcal M$, $E \in \mathcal M \to E^c \in \mathcal M$

ii) $E, F \in \mathcal M \to E \cup F \in \mathcal M$. 특히, $E\cap F = \emptyset$ 이면  $\mu(E\cup F) = \mu(E) + \mu(F)$.

iii) $\{E_n\}_{n=1} ^\infty \subseteq \mathcal M$ then $\bigcup _{n=1} ^\infty E_n \in \mathcal M$.

따라서 $\mathcal M$은 $\sigma$-algebra 이다.

i)은 자명하다. ii)를 보이자. 임의의 집합 $X \subseteq \mathbb R$에 대하여,

$$ X \cap (E \cup F) = (X \cap E) \cup (X \cap F \cap E^c) $$

따라서,

$$ \mu(X \cap(E \cup F)) + \mu(X \cap(E \cup F)^c) \le \mu (X \cap E) + \mu (X \cap F \cap E^c) + \mu (X \cap E^c \cap F^c) $$

한편 $F$가 measurable이므로,

$$ = \mu(X \cap E) + \mu (X \cap E^c) = \mu(X) $$

따라서 $E \cup F$는 measurable. 또한 $E \cap F = \emptyset$이면,

$$ \mu(E \cup F) = \mu((E\cup F)\cap E) + \mu((E\cup F) \cap E^c) = \mu (E) + \mu(F). $$

iii)은 $\{E_n\}$이 mutally disjoint일 때만 보여도 충분하다. 이때 ii)에 의해 $\bigcup _{n=1} ^k E_n \in \mathcal M$이고, $\mu(\bigcup _ {n=1} ^k E_n) = \sum _{n=1} ^k E_n$이 성립한다. 이제 $E = \bigcup E_n$이라 두자. 그러면, 임의의 $k \in \mathbb N$에 대하여,

$$ \mu(X) = \mu\left(X \cap \left(\bigcup _{n=1} ^k E_n\right)\right) + \mu \left( X \cap \left( \bigcup _{n=1} ^k E_n\right)^c \right) $$

$$ \ge \mu \left(\bigcup _{n=1} ^k (X \cap E_n)\right) + \mu (X \cap E^c) = \sum _{n=1} ^k \mu(X \cap E_n) + \mu(X\cap E^c) $$

이제 $k\to \infty$로 보내면,

$$ \mu(X) \ge \sum _{n=1} ^\infty \mu(X \cap E_n) + \mu(X \cap E^c) \ge \mu\left(\bigcup_{n=1} ^\infty (X\cap E_n)\right) + \mu(X \cap E^c) = \mu(X \cap E) + \mu(X \cap E^c) $$

따라서 $E$는 measurable하다.

다음은 지금은 그렇게 중요하지 않지만, 일반적인 측도론을 다룰 때 중요한 성질이다.

[Completeness] $\mu(E) = 0$이면 $E \in \mathcal M$.

증명은 간단하다. 임의의 $X \subseteq \mathbb R$에 대하여, $\mu(X \cap E) =0$이므로,

$$ \mu(X) \ge \mu(X \cap E^c) = \mu(X \cap E) + \mu(X \cap E^c). $$