Lion D.

출처는 여기.$a, b, c>0$, $a+b+c = 1$일 때, 다음 식의 최솟값을 구하여라.$$ \left( 2 + \frac 1 a \right) \left( 2 + \frac 1 b \right) \left( 2 + \frac 1 c \right) $$$$ 2 + \frac 1 a = 1 + 1 + \frac 1 {3a} + \frac 1 {3a} + \frac 1 {3a} \ge \frac 5 {\sqrt [5]{27a^3}} $$$$\left( 2 + \frac 1 a \right) \left( 2 + \frac 1 b \right) \left( 2 + \frac 1 c \right) \ge \frac {125}{\sqrt[5]{3^9(abc)^3}} $$$$ 1 = a+b+c \ge 3\sqr..

흔히 알려져 있는 적분과 이산 합 사이의 관계, 즉 연속인 $f(x)$가 강감소함수이고 $0$ 이상일 때,$$ \sum _{k=2} ^n f(k) < \int _1 ^n f(x)\;dx < \sum _{k=1} ^{n-1} f(k) $$가 성립한다. 이제 그 변형을 해보자!$$ \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2 $$ 를 보여라!$$ \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} = \sum \frac{\sqrt{n}}{n(n+1)} = \sum \sqrt{n}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$이때 다음 그림을 생각하자. 즉 처음의 적분 부등식은 구간을 일정하게 자르는 것이었다면..