Sylow's theorem (1)

이 글은 군의 작용, 특히 class equation에 알고 있는 것을 전제로 한다.

아마 Sylow's theorem을 배울 때이면 Lagrange's theorem은 이미 알고 있을 것이다.

[Lagrange's theorem] 유한한 군 $G$에 대하여, $H \le G$이면, $|H||G:H| = |G|$를 만족한다. 따라서 $|L| | |G| $.

군론은 적당한 단서가 주어진 군의 구조가 어떻게 되는지를 연구하면서 발전해 왔다. 군의 구조를 밝히는 방법 중 하나는 군의 subgroup lattice를 아는 것이다. (그러나 아쉽게도 lattice가 같다고 군이 isomorphic하진 않다) Lagrange theorem은 위수가 주어진 군에 대해서 그 군의 부분군의 위수가 특정한 값임을 알려준다. 그럼 특정한 위수의 부분군이 항상 존재함은 알 수 없을까?

그 첫 단계가 Cauchy's theorem이다.

[Cauchy's theorem] 유한한 군 $G$, 소수 $p$에 대하여, $p | |G|$이면 $|x| = p$인 $x \in G$가 존재한다.

증명. 먼저 $G$가 abelian일 때부터 증명해 보자. $|G|$에 대해 강한 귀납법을 쓰자. $|G|=1$이면 증명할 것이 없다. $|G|>1$일 때, $x \in G, x \ne 1$을 하나 고르자. $N = \langle x \rangle$이라 두자. 

i) $p | |N|$이면 귀납 가정에 의해 끝이 난다.

ii) 그렇지 않으면, $N \unlhd G$ 이므로 $G/N$는 위수가 $p$의 배수인 group이 된다. 이제 귀납 가정에 의해 $y \in G$, $|yN| = p$라 할 수 있다. $d = |y|$라 두면, 분명히 $(yN)^d = 1N$이므로 $p | d$. 따라서 $z = y^{d/p}$라 두면 $z\ne 1, z^p = 1$이므로 원하는 원소를 찾을 수 있다.

이제 일반적인 군에 대해서는, $Z(G)$가 abelian subgroup임을 이용한다. 또 다시 귀납법을 쓰자. $|G|=1$일 때는 자명하다.

i) $p | |Z(G)|$인 경우, order $p$인 원소 $x \in Z(G)$를 잡을 수 있고, 이것이 우리가 찾는 원소이다.

ii) $p \not | |Z(G)|$인 경우, class equation에서, $p \not | |G: C_G(g_i)|$인 $g_i \not\in Z(G)$가 존재한다, 따라서 $p | |C_G(g_i)|$이고, 이 집합에 우리가 찾는 원소가 있다. ($|C_G(g_i)| < |G|$, why?)

아마 코시는 이 방법으로 증명하지 않았을 것이다. 왜냐면, 이 증명을 알았다면 더 강력한 다음 명제를 증명할 수 있었을 테니까. 다음 명제는, 조금 더 큰 위수를 가진 군은 어떨까? 에 대한 답이다.

[Sylow's theorem, I] 유한한 군 $G$, 소수 $p$에 대하여, $|G| = p^a m$, $p \not | m$이면, 위수가 $p^a$인 subgroup $G$가 존재한다.

이 명제는 위 Cauchy's theorem 증명과 정말 유사하다. 사실 cauchy's theorem의 일반적인 경우의 증명은 필요가 없는데 한 이유가 이것이다. 그래도 한번 다시 써볼까...

증명. 귀납법을 쓰자. $|G|=1$이면 자명하다.

i) $p | |Z(G)|$인 경우, order $p$인 원소 $x \in Z(G)$를 찾을 수 있다. $N = \langle x \rangle$로 두자. $N \unlhd G$이므로 $G/N$은 위수 $p^{a-1} m$의 군이 된다. 따라서 귀납 가정에 의해 위수가 $p^{a-1}$인 subgroup $P/N \le G/N$이 존재하고, 이때 $|P| = |P/N||N| = p^a$이므로, 우리가 찾는 군이다.

ii) $p \not | |Z(G)|$인 경우, class equation에서 $p \not | |G:C_G(g_i)|$인 $g_i \not \in Z(G)$가 존재한다. 따라서 $|C_G(g_i)| = p^a k$, $p \not | k$, $k < m$(why?)이다. 이제 귀납 가정에 따라 우리가 찾는 군이 존재한다.

유한한 군 $G$에 대하여, $|G| = p^a m, p \not | m$일 때 $N < G$, $|N| = p^b$이면 $N$은 $p$-subgroup이라 한다. 만약 $|N| = p^a$이면 $N$은 Sylow $p$-subgroup이라 한다. $G$의 모든 Sylow $p$-subgroup을 모은 집합을 $\mathsf{Syl}_p(G)$로 나타낸다. 위 정리에 의해 $\mathsf{Syl}_p(G) \ne \emptyset$.