Lion D.

$n$th positive number that is not a perfect square를 $a_n$이라 하자. 그러면 $a_n = n + \{\sqrt n\}$을 만족한다. (이때 $\{x\}$는 nearest integer of $x$.) $a_n$ 보다 작은 positive perfect square의 개수는 $[\sqrt {a_n}]$이므로 $n + [\sqrt {a_n}] = a_n$을 만족한다. (이때 $[x]$는 floor function.) $m = [\sqrt {a_n}]$으로 두면$$ m < \sqrt {a_n} < m+1, m^2 < a_n < m^2 + 2m + 1 $$이 성립한다. 그런데 $a_n$이 정수이므로 $m^2 + 1 \le a_n \le m^2 + 2m $이 성립하고,..

topological space $X$의 open, path-connected subset $U, V$에 대하여, $X = U \cup V$ 그리고 $U \cap V$가 path-connected라 하자. $i_U: \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(U)$, $i_V: \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(V)$가 induced homomorphism이라 할 때, 다음이 성립한다.$$ \pi_1(X) \cong (\pi_1(U) * \pi_1(V))/N(R) $$이때 $R = \{i_U(w)i_V(w)^{-1} | w \in \pi_1(U \cap V)\}$이고, $N(R)$은 $R$의 normal closure. inclusion에서 induced되는 homomorphism을 이용..

$n$개의 서로 다른 점 $p_1, \cdots, p_n \in \mathbb R^2$에 대하여, $X = \mathbb R^2 - \{p_1, \cdots, p_n\}$의 fundamental group 을 구하여라. 1) 먼저, 적당한 회전을 통하여 모든 점들의 $x$ 좌표가 다르도록 만들자.서로 다른 두 점 $(x_i, y_i)$, $(x_j, y_j)$에 대하여, 원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전시켰을 때 각 $x$ 좌표는 다음과 같다.$$ x_1 \cos \theta - y_1 \sin \theta = x_2 \cos \theta - y_2 \sin \theta $$그런데 이 식을 정리해서 양변을 제곱하면 $\cos \theta$에 대한 다항 방정식이 되므로, 이 식의 해는 유한하다. 따..