Lion D.

볼록 함수의 정의는 다음과 같다.$ f : [a,b] \to \mathbb{R}$이 $[a,b]$에서 볼록일 필요충분조건은 임의의 $x, y \in [a,b]$, $t \in [0,1]$에 대하여$$ f((1-t)x+ ty) \le (1-t)f(x) + tf(y)$$이 성립하는 것이다.다음을 보일 것이다.볼록 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$와 임의의 $x \in [a,b]$에 대하여 함수 $g: [a,b] \setminus \{x\} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 두자. $$ g(t) = \frac { f(t) - f(x) } {t-x} $$이때 $g$는 단조증가함수이다.임의의 $a \le t < u \le b$에 대하여, $t < x < u$라고 가정하자.$$ f(x)..

문제의 출처는 여기.Prove that$$ \int _0 ^ \pi \left( \frac{\sin nx}{\sin x} \right)^2 dx = n\pi$$for any $n \in \mathbb{N}$. 수학적 귀납법을 사용하자. $n = 1$일때는 자명하다. $n+1$일 때,$$ \left (\frac{\sin (n+1)x}{\sin x} \right) ^2 = \left(\frac{\sin nx \cos x + \cos nx \sin x}{\sin x}\right)^2 $$$$ = \left( \frac{\sin nx}{\sin x}\right)^2 \cos^2 x + \frac{ 2\sin nx \cos nx \cos x}{\sin x} + \cos^2 nx $$그리고 $\cos^2 x = 1..

증명. $A$가 invertible. 다음 식이 성립한다.$$ \left( \begin{array}{cc} A & C \\ C^T & -B \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} A & O \\ C & I_n \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} I_n & A^{-1} C \\ O & -B-C^T A^{-1}C \end{array} \right) $$ 따라서 주어진 행렬의 determinant는 $\det(A) \det(-B-C^T A^{-1}C)$이다. 한편 임의의 $x \in \mathbb{R}^n$에 대하여,$$ x^T(B+C^TA^{-1}C)x = x^TBx + (Cx)^TA^{-1}Cx > 0 $$이다. ($A..

먼저 다음 lemma를 보인다.finite-dimensional vector space $V$ 에서 정의된 linear operator $T, U$에 대하여, $$ \mathrm{nullity}(TU) \le \mathrm{nullity}(T) + \mathrm{nullity}(U) $$증명. $W = N(TU)$에 대하여 $N(U) \subset W$이므로 $N(U|_W) = N(U)$이다. 또한 $R(U|_W)$의 basis는 $N(T)$에 속하는 linearly independent set이다. 따라서,$$ \mathrm{nullity}(TU) = \dim W = \mathrm{rank}(U|_W) + \mathrm{nullity}(U|_W) \le \mathrm{nullity}(T) + \math..

문제는 생략.$a = 1/x$, $b = 1/y$, $E_1 = xA$, $E_2 = yB$, $T = A+B$라 두자. 그러면 $E_1, E_2$는 projection이다. $W_1 = R(E_1)$, $W_2 = R(E_2)$라 하자. $E_1 E_2 = O$이므로 $\mathbb{R}^n = W_1 \oplus W_2$이다. 따라서 $\mathrm{rank}(E_1) + \mathrm{rank}(E_2) = \dim W_1 + \dim W_2 = n$이다. 또한,$$(T-aI)(T-bI) = (b-a)E_2 \cdot (a-b)E_1 = O$$이므로 $T$의 characteristic polynomial은 $\det(zI-T) =(z-a)^k (z-b)^l$ 꼴이다. (이때 $k+l = n$) 그런..

문제는 생략.풀이는 다 나와있지만, official solution에는 어떻게 그 풀이에 도달했는지에 대한 설명이 없다. 고로 좀 더 납득이 가는 풀이를 보여주려 한다.$$ C_t = \left( \begin{array}{cc}A&t^2 B \\ B &A \end{array} \right) $$의 determinant는, 한 row를 $t$배 해서 다른 row에 더하거나 빼도 바뀌지 않는다. 따라서,$$ \det C_t = \det \left( \begin{array}{cc}A-tB & t(tB - A) \\ B & A \end{array} \right) $$... 그리고 이 성질은 column에 대해서도 성립한다!$$ \det C_t = \det \left( \begin{array}{cc} A-tB &..

i) $f$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능하고 $f \ge 0$ 이면 $\int _a ^b f \ge 0$ 이다. ii) $f$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능하고 $f > 0$ 이면 $\int _a ^b f > 0$이다.i)은 쉽다. 임의의 $\pi \in \Pi[a,b]$에 대하여 $L(f,\pi) \ge 0$이므로,$$ \int _a ^b f = \sup L(f,\pi) \ge 0 $$이다. ii)를 보이려면, $f$가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 $f$가 discontinous한 점의 집합이 measure zero란 사실이 필요하다. 따라서 적당한 $c \in (a,b)$가 존재하여 $c$에서 $f$는 연속이다. $f(c) > 0$ 이므로 적당한 $\delta, m > 0$이 존재하여..

다음 Alternating series$$ \sum (-1)^{n-1} \frac 1 n $$은 수렴하고, 그 값은 다음과 같이 여러가지 방법으로 구할 수 있다. 이 급수의 부분합을 $\{s_k\}$라 하자.1. $$ s_{2k} = \left(1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {2k} \right) - 2\left(\frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {2k}\right) $$$$ = \left(1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 {2k} \right) - \left(1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 k \right) = \sum _{n=1} ^{k} \frac 1 {n+k} $$$$ = \frac 1 k \sum ..

Principle of Mathematical Analysis, i.e. baby Rudin. PMA는 아마 전세계적으로 가장 유명한 해석학 책일 것이다. 정말 택도 안되는 두께인데 이를 가지고 대부분의 수학과에서 일 년간 강의한다. 그러면서 책값은 다른 전공서적과 비슷하니, 대단한 상술이 아닐 수 없다.책 값은 그렇다 하더라도, 나는 이 책을 별로 마음에 들어하지 않는다. 이유는, 이 책이 Analysis (on $\mathbb{R}$)인 주제에 너무 일반적인 대상을 다루기 때문이다. 첫 세 챕터는 topology on metric space이며 Integral 챕터는 Riemann Integral과 Riemann-Stiljtes Integral을 같이 가르친다. 물론 논리의 전개 상 잘못된 것은 없다..

같은 것은 같도다. - 이인석, 선형대수와 군.선형대수를 배우면서, 또 현대대수를 가끔 훑어보면서 isomorphism에 대해서 적당히 감이 오긴 한다. 그런데 방금 전 글을 쓰면서 내가 language끼리의 isomorphism이라는 소리를 할 줄은 몰랐다... 어릴 때 집합을 이용하여 자연수, 정수, 유리수, 실수를 구성하는 과정을 보면서 불만을 가진 적이 있다. 정수를 자연수의 순서쌍에 대한 동치류로 정의하면, 자연수에 대응되는 정수의 부분집합에 대하여 자연수의 성질을 다 증명해야 하지 않는가! 그래서 이렇게 얼렁뚱땅 넘어가는 것을 마음에 들지 않아 했다.사실 그럴 만한 이유가 있는게, 집합을 이용하여 수를 구성하는 것은 대개 해석학에서 다룬다. 해석학이 워낙 수학을 엄밀하게 재정의한다는 책임감(?..