완전제곱수가 아닌 수

$n$th positive number that is not a perfect square를 $a_n$이라 하자. 그러면 $a_n = n + \{\sqrt n\}$을 만족한다. (이때 $\{x\}$는 nearest integer of $x$.)

$a_n$ 보다 작은 positive perfect square의 개수는 $[\sqrt {a_n}]$이므로 $n + [\sqrt  {a_n}] = a_n$을 만족한다. (이때 $[x]$는 floor function.) $m = [\sqrt {a_n}]$으로 두면

$$ m < \sqrt {a_n} < m+1, m^2 < a_n < m^2 + 2m + 1 $$

이 성립한다. 그런데 $a_n$이 정수이므로 $m^2 + 1 \le a_n \le m^2 + 2m $이 성립하고, $a_n = n+m$을 이용하면, 부등식

$$ m^2 - m + 1 - n \le 0, m^2 + m - n \ge 0 $$

을 얻는다. 이를 정리하면

$$ \frac { -1 + \sqrt {1+4n}} 2 = -\frac 1 2 + \sqrt {n + \frac 1 4} \le m \le \frac {1 + \sqrt {4n - 3}} 2 = \frac 1 2 + \sqrt {n - \frac 3 4} $$

를 만족한다. 따라서 $-1/2 < m - \sqrt n < 1/2$이고, $m = \{\sqrt n\}$을 만족한다. 즉 $a_n = n + \{\sqrt n\}$.