2007 대학생 수학 경시대회 2분야 1번

문제는 검색하면 알 수 있으니 생략

삼각형 $ABC$를 좌표평면에 나타낸다. $A(0,h), B(k,0), C(k+l,0)$이라고 두면, $P(k+x,0)$이다. 삼각형 $PAC$의 각 변의 길이는 $\bar{AP} = \sqrt{(k+x)^2+h^2}, \bar{PC} = l-x, \bar{AC} = \sqrt{(k+l)^2+h^2}$이다. 따라서 코사인 법칙에서,

$$\cos\theta(x) = \frac{(k+x)^2+h^2+(l-x)^2-(k+l)^2-h^2}{2\sqrt{(k+x)^2+h^2}(l-x)} = \frac{x+k}{\sqrt{(k+x)^2+h^2}}$$

이다. 이제 주어진 적분을 계산할 수 있다.

$$\frac{1}{h}\int _0 ^l \sin^2 \theta(x) dx = \frac{1}{h}\int _0 ^l \frac{h^2}{(k+x)^2+h^2} dx $$

$x = h\tan u - k$로 치환하자.

$$ = \frac{1}{h}\int _{\tan^{-1} (k/h)} ^{\tan^{-1} (k+l)/h} \frac{h^3 \sec^2 u}{h^2 \sec^2 u} du = \tan^{-1}\frac{k+l}{h} - \tan^{-1} \frac k h$$

한편, $\angle A$는 원점 $O$에 대하여 $\angle AOB + \angle AOC$로 나타낼 수 있으므로,

$$ \angle A = \tan^{-1}\frac{-k}{h} + \tan^{-1}\frac{k+l}{h} = \tan^{-1}\frac{k+l}{h} - \tan^{-1} \frac k h$$

이다. 따라서 주어진 식이 성립한다.