1997년 대학생 수학 경시대회 오전 3번

실수 성분으로 이루어진 임의의 $n \times n$ 행렬 $A$, $B$에 대하여

$$ \det(A^T A+B^T B) \ge 0 $$

임을 보여라.

증명. 임의의 $n \times 1$ 벡터 $\mathbb{x}$에 대하여,

$$ \mathbb x^T(A^T A+B^T B)\mathbb x = ||A\mathbb x||^2 + ||B\mathbb x||^2 \ge 0 $$

이고 행렬 $A^T A+B^T B$이 symmetric matrix이므로 이는 positive semidefinite 이다. 따라서 $A^T A+B^T B = C^T C$를 만족하는 (positive semidefinite) 행렬  $C$가 존재하고(*), 따라서

$$\det(A^T A+B^T B) = (\det C)^2 \ge 0 $$

이 성립한다.

(*) posiitive [semi]definite 행렬 $A$에 대하여, positive [semi]definite 행렬 $C$가 존재하여 $A = C^T C$를 만족한다.

증명. $A$를 orthogonally diagonalize한 것을 $A = PDP^{-1}$라 하자. 이때 $D$의 대각선 상의 원소가 $\lambda_1, \cdots \lambda_n$이라 하자. 그리고 대각행렬 $D'$을 대각선 상의 원소가 $\sqrt{\lambda_1}, \cdots, \sqrt{\lambda_n}$이라 두고, $C = PD'P^{-1}$라 두면 명제의 조건을 만족한다.