2007 대학생 수학 경시대회 1분야

인터넷을 많이 뒤져봤는데, 2007년도 대학생 수학 경시대회(이하 대수경)의 official solution이 없었다. 그래서 내가 푼 것들을 적당히 적어보려고 한다.

1분야 문제는 수학과 대상임에도 불구하고 2분야보다 쉽다. 문제는 검색하면 나오니까 생략.

1. 

$\mathbf{v_1} = (1,2,3), \mathbf{v_2} = (3, 1, 2)$라 두면, $(7, 4, 7) = \mathbf{v_1} + 2\mathbf{v_2}$이므로, 사각형의 넓이는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이를 더한 것과 같다.

$$ \therefore S = \frac{3}{2}(\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}) = \frac{3}{2} (3 + 2+ 6) = \frac{33}{2} $$

2. 

$x = f(y)$, $1 \le y \le 2$로 두고 치환한다.

$$ \int _e ^{e^2/2} [g(x)]^2 dx = \int _1 ^2 y^2 f'(y) dy = \int _1 ^2 y^2 \frac{ye^y - e^y}{y^2} dy = \int _1 ^2 (y-1)e^y dy $$

$$ = \left[(y-1)e^y - e^y\right]_1 ^2 = e$$

3. 

$k$개의 부분집합 내의 원소를 중복을 허락하여 모두 나열하면 그 개수는 $k\gamma$개 이다. 이때 $A$의 모든 원소가 $p$개의 부분집합에 존재하므로 이 나열에서 각 원소들은 $p$번 등장한다. 따라서 총 $np$번 등장해야 하고 결론적으로 $k\gamma \ge np$이다.

4. 

조건에 따라 $||\mathbf{v_1}\cdot(\mathbf{v_2}\times\mathbf{v_3})|| = 1/2$이다. 문제에서 주어진 행렬을 $M$이라 하면

$$ M = \left[\begin{array}{c} \mathbf{v_1} \\ \mathbf{v_2} \\ \mathbf{v_3} \end{array}\right] [ \mathbf{v_1} \quad \mathbf{v_2} \quad \mathbf{v_3} ]$$

이때 문제 조건은 외적의 정의에 따라 다음과 같다.

$$ \left|\begin{array}{c} \mathbf{v_1} \\ \mathbf{v_2} \\ \mathbf{v_3} \end{array}\right| = \frac{1}{2} $$

따라서 $\det(M) = 1/4$이다.