1997년 대학생 수학 경시대회 오후 6번 2분야

$$y(t) + 2\int _0 ^t \cos\theta y(t - \theta) d\theta = e^{-t} + \cos t$$

미분하기 위해서는 좌변의 적분 항을 고쳐줘야 한다. $t - \theta = u$로 치환.

$$ \int _0 ^t \cos\theta y(t - \theta) d\theta = \int _0 ^t \cos(t-u) y(u) du = \int _0 ^t (\cos t \cos u + \sin t \sin u)y(u) du$$

$$ = \cos t \int _0 ^t \cos u y(u) du + \sin t \int _0 ^t \sin u y(u) du $$

원래 식에 대입해서 미분하자. 그러기 위해서는 먼저 $y$가 미분가능한지를 보여야 하는데, 리만 적분은 연속이고 우변의 함수도 연속이므로 $y$가 연속임을 알 수 있다. 따라서 적분기호 안의 함수가 연속이므로 적분 항은 미분가능하다. 따라서 $y$도 미분가능하다.

$$ y'(t) + 2(-\sin t \int _0 ^t \cos u y(u) du + \cos^2 t y(t) + \cos t \int _0 ^t \sin u y(u) du + \sin^2 t y(t)) = -e^{-t} - \sin t $$

$$ y'(t) + 2y(t) + 2(-\sin t \int _0 ^t \cos u y(u) du + \cos t \int _0 ^t \sin u y(u) du) = -e^{-t} - \sin t $$

적분기호를 없애려면, 미분을 한번 더 해야 한다. $y'$이 미분가능한 것은 자명하다.

$$ y''(t) + 2y'(t) + 2(-\cos t \int _0 ^t \cos u y(u) du + -\sin t \cos t y(t) -\sin t \int _0 ^t \sin u y(u) du + \cos t \sin t y(t)) = e^{-t} - \cos t $$

$$ y''(t) + 2y'(t) + 2(-\cos t \int _0 ^t \cos u y(u) du - \sin t \int _0 ^t \sin u y(u) du) = e^{-t} - \cos t $$

$$ \therefore y''(t) + 2y'(t) -2\int _0 ^t \cos(t-u) y(u) du = e^{-t} - \cos t $$

따라서 제일 첫 식과 더하면 된다!

$$ \therefore y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 2e^{-t} $$

특수해부터 하나 구하자. 일단 $y(t) = g(t)e^{-t}$라고 두고 대입하여 정리하면, $g''(t) = 2$를 얻을 수 있다. 따라서 특수해는 $y(t) = (t^2 + At + B)e^{-t}$이다. 그리고 특성방정식에서 일반해는 $y(t) = (Ct + D)e^{-t}$이다. 따라서 이 방정식의 해는

$$y(t) = (t^2 + Et + F)e^{-t}$$

(단, $E,F$는 상수)이다. 이제 상수를 결정하기 위해서 $y'(0)$, $y(0)$을 알아야 한다. 첫 식에서 $y(0) = 2$, $y'$이 등장하는 중간 부근의 식에서 $y'(0) + 2y(0) = -1$임을 알 수 있다. 위 일반해의 일계 미분이

$$y'(t) = (2t+ E)e^{-t} - (t^2 + Et + F)e^{-t} = (-t^2 + (2-E)t + E-F)e^{-t} $$

이므로, $F = 2$, $E = -3$이다. 따라서 해는 $y(t) = (t^2 -3t + 2)e^{-t}$이다.