2012년 대학생 수학 경시대회 2분야 7번

수열 ${e_n}$이 $e_n = (1+\frac{1}{n})^n$으로 정의된 수열일 때, 다음을 구하여라.

$$ \lim _{n\to\infty} \left(\frac{2n(e-e_n)}{e}\right)^n $$

주어진 수열 ${e_n}$은 $e$로 수렴한다. 또한 문제 수열은 어떤 수열의 $n$제곱 꼴인데, 이 '어떤 수열'이 어디로 수렴하는 지 생각해 보자. 먼저, 이 '어떤 수열'이 1이 아닌 값으로 수렴한다면, $n$제곱을 구하라고 할 필요가 없다는 것을 인지하자. 만약 0보다 큰 값으로 수렴하거나 발산하면 $n$제곱을 할때 발산함을 쉽게 알 수 있고, 이 외의 값들에 대해서도 마찬가지이다. 즉 이 수열은 $1$로 수렴하지 않으면 $n$제곱을 취해 난이도를 올릴 필요가 없다.ㅡㅡ

이제, 이 '어떤 수열'이 $1$로 수렴한다면, 어떻게 해야 할 지 생각해 보자.

$$ \left(\frac{2n(e-e_n)}{e}\right)^n= \left(1 + \left(\frac{2n(e-e_n)}{e} - 1 \right) \right)^{\frac{1}{\frac{2n(e-e_n)}{e} - 1} \cdot n\left(\frac{2n(e-e_n)}{e} - 1\right)} $$

굉장히 알아보기 어렵지만, 실제로는 $1^\infty$꼴의 극한을 구할 때 사용하는 기본적인 방법이다. 즉 결론은 두 가지이다. 먼저, '어떤 수열'이 $1$로 수렴함을 보이고, $n\left(\frac{2n(e-e_n)}{e} - 1\right) $가 어느 값으로 수렴하는 지 구하면 된다. 

1. '어떤 수열'이 $1$로 수렴함을 보이자. $x = 1/n$로 놓자.

$$(a series) = \frac{2\left(e - (1+x)^{1/x}\right)}{ex} $$

$x\to +0$에서의 극한을 구하면 되므로, 로피탈의 정리를 쓰자. $f(x) = (1+x)^{1/x}$라 두면, 위 식의 극한은,$ -2f'(x)/e$의 극한을 구하는 것과 같다. $f'$를 구하자.

$$ \ln f(x) = \frac{\ln (1+x)}{x}$$

$$ \therefore f'(x)= \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{\ln (1+x)}{x}}{x} (1+x)^{\frac{1}{x}}$$

분수식을 $g(x)$라 두면, $g(x)$의 극한은 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 예를 들어 $g(x)$를 테일러 전개하자.

$$g(x) = \frac{(1-x+x^2- \cdots) - \frac{(x - x^2/2 + \cdots)}{x}}{x} =-\frac{1}{2} + \frac{2}{3}x- \cdots$$

따라서, 극한을 구하면, $f'(x)$의 극한은 $-e/2$가 된다. 즉, 원래 구하고자 했던 극한값은 $1$이다.

2. $n\left(2n(e-e_n)/e - 1\right) $의 극한을 구하자. 마찬가지로 $x = 1/n$로 놓자.

$$n\left(\frac{2n(e-e_n)}{e} - 1\right) = \frac{2(e-f(x)) - ex}{ex^2}$$

$$ \lim _{x \to 0}\frac{2(e-f(x)) - ex}{ex^2} = \lim _{x \to 0} \frac{-2f'(x) -e}{2ex} = \lim _{x \to 0} \frac{-f''(x)}{e} $$

이제 $f''(x)$의 극한을 구해야 한다. $f'(x)$를 미분하자. $f''(x) = g'(x)f(x) + g(x)f'(x)$이므로, 각 항별로 극한을 취하면,

$$ \lim _ {x\to 0} f''(x) = \frac{2}{3}e +\frac{e}{4} = \frac{11e}{12} $$

따라서 원래 식의 극한값은 $-11/12$이다. 결국 문제의 수열은 $e^{-11/12}$로 수렴한다.