함수 방정식 (2)

다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb R \to \mathbb R$을 모두 구하여라.

i) $f(xy) = f(x)f(y)$ for any $x,y \in \mathbb R$.

ii) $f(x+1) = f(x) + 1$ for any $x \in \mathbb R$.

문제가 어려워서 다른 사람의 풀이를 수집하게 된다(..) 이 문제는 [1](이하 "함수")에서 나온 문제이다. 풀이는 여기서 본 것인데, 카페에 가입해야만 볼 수 있다.

풀이. 사실 i)보다 더 약한 조건인 $f(x^2) = f(x)^2$만으로도 문제를 풀 수 있다! 이 조건을 i')라 하자.

ii)에 의해 임의의 정수 $n$에 대하여 $f(x+n) = f(x) + n$임을 알 수 있다. 따라서 i')에 의해,

$$ f\left((x+1)^2\right) = [f(x+1)]^2 = [f(x)]^2 + 2f(x) + 1$$

$$ f\left((x+1)^2\right) = [f(-x-1)]^2 = [f(-x)]^2 -2f(-x) + 1$$

그러므로 $f(x) = f(-x)$임을 알 수 있다. 또한 $x \ge 0$일 때, $f(x) = f(\sqrt{x}^2) = [f(\sqrt x)]^2 \ge 0$이 성립한다. 그리고 $x \ge 1$일 때, $f(1-x) = 1 - f(x) \ge 0$이 성립함도 알 수 있다. 따라서 $0 \le x \le 1$에서 $0 \le f(x) \le 1$이 성립하고, ii)에 의해 모든 실수 $x$에 대하여 $0 \le f(x) \le 1$임을 알 수 있다.

이제 $|f(x) - x| \le 1$임을 알 수 있다. $f(x) = x$임을 보이기 위해서, 적당한 실수 $y>2$에 대하여 $f(y) \ne y$라 하자.(조건 ii)에 의해 가능하다) 이때 $|f(y) + y| \ge y - |y - f(y)| > 3$이 성립하므로,

$$ |f(y^2) - y^2| = |f(y) + y||f(y) - y| > 3|f(y) - y| $$

그리고 $|f(y^2) + y^2| \ge y^2 - |y^2 - f(y^2)| > 3$이 성립하므로 이를 계속 반복하면 $|f(y^{2^n}) - y^{2^n}| > 3^n|f(y) - y|$가 성립한다. 그런데 $|f(y^{2^n}) - y^{2^n}| \le 1$이므로, 충분히 큰 $n$에 대하여 이는 모순이다. 따라서 $f(x) = x$.

[1]: 함수와 함수 방정식 - 수학의 언어, 이호주.