내 준 문제 2

이건 고등학생 시절 풀었던 문제이다.

다음을 만족하는 유리수 $\alpha$를 구하여라.

$$ \frac 4 3 \left( \frac 1 \alpha  - \left[ \frac 1 \alpha \right] \right) = \alpha $$

단, $0<\alpha<1$.

여러 가지 풀이 방법이 있지만, 여기서는 교육 과정에 맞게 풀 수 있는(?) 방법을 시도해 보자. $x = 1/\alpha$로 두면, $4/3(x-[x]) = 1/x$ 라는 방정식이 되고, 이를 정리하면,

$$ 4x^2 - 4[x]x - 3 = 0 $$

이라는 이차방정식이 된다. 이차방정식의 정수근, 또는 유리수근을 다루는 문제는 풀이법이 패턴화 된 문제인데, 지금은 교육과정이 바뀌어서 아직 있는지 모르겠다. 여튼 중요한 것은 이 방정식의 판별식(또는 그것의 $1/4$)이 유리수의 제곱이 되어야 한다는 것이다.

$$ D/4 = (2[x])^2 + 12 = k^2 $$

그런데 $[x]$는 정수이므로 $k$도 정수일 수밖에 없다. 따라서, $(k - 2[x])(k + 2[x]) = 12$로 식을 인수분해하면, 가능한 경우는 $k = 4, [x] = 1$이 유일하다. $4x^2 - 4x - 3 = (2x-3)(2x+1)$ 이므로, $x = 3/2, \alpha = 2/3$.