부등식 3

출처는 여기.

$a, b, c>0$, $a+b+c = 1$일 때, 다음 식의 최솟값을 구하여라.

$$ \left( 2 + \frac 1 a \right) \left( 2 + \frac 1 b \right) \left( 2 + \frac 1 c \right) $$

$$ 2 + \frac 1 a = 1 + 1 + \frac 1 {3a} + \frac 1 {3a} + \frac 1 {3a} \ge \frac 5 {\sqrt [5]{27a^3}} $$

$$\left( 2 + \frac 1 a \right) \left( 2 + \frac 1 b \right) \left( 2 + \frac 1 c \right) \ge \frac {125}{\sqrt[5]{3^9(abc)^3}} $$

$$ 1 = a+b+c \ge 3\sqrt [3] {abc}, \quad abc \le 27 $$

$$ \therefore\left( 2 + \frac 1 a \right) \left( 2 + \frac 1 b \right) \left( 2 + \frac 1 c \right) \ge 125. $$

답은 물론 $125$. 등호조건($a=b=c=1/3$)을 맞추기 위해 첫번째 식을 저렇게 쪼개는 것은 전형적인 풀이이다.