함수 방정식 (1)

다음을 만족하는 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb R$을 모두 구하여라.

i) $f(x+y) = f(x) + f(y)$ for any $x, y\in \mathbb R$.

ii) $f(x)f(1/x) = 1$ for any $x \in \mathbb R \setminus \{0\}$.

(IMO 1989 longlist)

이 모씨의 풀이)

$x=1$을 대입하면 $f(1)^2 = 1$. 따라서 $f(1) = \pm 1$.

$x \ne 0, 1$인 임의의 실수에 대하여,

$$ f\left(\frac 1 {x(1-x)}\right) = f\left(\frac 1 x + \frac 1 {1-x}\right) = f\left(\frac 1 x\right) + f\left(\frac 1 {1-x}\right) = \frac 1 {f(x)} + \frac 1{f(1-x)}$$

$$ = \frac {f(x) + f(1-x)}{f(x)f(1-x)} = \frac {f(1)}{f(x)f(1-x)} = \frac 1 {f(1)f(x)(1-x)} $$

따라서,

$$f(x(1-x)) = f(1)f(x)f(1-x) = f(1)f(x)[f(1) - f(x)] = -f(1)\left(f(x) - \frac {f(1)} 2\right)^2 + \frac {f(1)^3} 4 $$

이 식은 $x=0, 1$을 대입해도 성립하므로, 모든 실수 $x$에 대해 성립한다고 말할 수 있다. 이제 만약 $f(1) = 1$인 경우, 

$$f(x(1-x)) = - (f(x)-1/2)^2 + 1/4 \le 1/4$$

이고, $f(1) = -1$인 경우,

$$f(x(1-x)) = (f(x)+1/2)^2 -1/4 \ge -1/4$$

이다. 또한 $\{x(1-x)|0 \le x \le 1\} = [0, 1/4]$ 이므로, $[0, 1/4]$에서 $f(x)$는 위 또는 아래로 유계이다. 그리고 $f(x)$가 코시 함수 방정식을 만족하므로, $f(x)=\pm x$. 이들이 모두 주어진 방정식의 해라는 것은 쉽게 확인할 수 있다.