Isomorphism

같은 것은 같도다. - 이인석, 선형대수와 군.

선형대수를 배우면서, 또 현대대수를 가끔 훑어보면서 isomorphism에 대해서 적당히 감이 오긴 한다. 그런데 방금 전 글을 쓰면서 내가 language끼리의 isomorphism이라는 소리를 할 줄은 몰랐다...

어릴 때 집합을 이용하여 자연수, 정수, 유리수, 실수를 구성하는 과정을 보면서 불만을 가진 적이 있다. 정수를 자연수의 순서쌍에 대한 동치류로 정의하면, 자연수에 대응되는 정수의 부분집합에 대하여 자연수의 성질을 다 증명해야 하지 않는가! 그래서 이렇게 얼렁뚱땅 넘어가는 것을 마음에 들지 않아 했다.

사실 그럴 만한 이유가 있는게, 집합을 이용하여 수를 구성하는 것은 대개 해석학에서 다룬다. 해석학이 워낙 수학을 엄밀하게 재정의한다는 책임감(?!)을 짊어지고 있어서 그렇다고 생각한다. 하지만 문제는 isomorphism은 현대대수를 배워야 확실하게 알 수 있으니, 해석학에서 이를 다루기는 어렵긴 하다.