Measure Theory (2)

이제 $\mathbb R$ 위에서의 '그럴싸한' 측도는 어떻게 정의되는 지 알아보자. 기본적인 구간의 길이를 정의한다.

$I\subseteq \mathbb R$가 interval이면 $\lambda(I) = \sup I - \inf I \in [0, \infty]$.

$I \subseteq J$이면 $\lambda(I) \le \lambda(J)$임은 자명하다. 이제 측도를 정의할텐데, 그 접근 방법이 두 가지로 조금씩 다른 부분이 존재한다.

방법 1. open $U \subseteq \mathbb R$에 대하여, $U$가 countable한 disjoint open interval family의 union으로 유일하게 나타낼 수 있음이 잘 알려져 있다. 따라서 임의의 open $U = \bigcup _{n=1} ^\infty I_n$에 대하여, $\lambda^+ (U) = \sum \lambda(I_n)$와 같이 정의하면, 위 정의와 모순되지 않게 $\lambda$를 확장할 수 있다. (특히, 양항급수의 재배열은 값이 변하지 않으므로 well-defined.) 이때, 임의의 $S \subseteq \mathbb R$에 대하여,

$$ \mu_1 (S) = \inf \{ \lambda^+(U)| S \subseteq U \subseteq \mathbb R, U\text{ is open}\} $$

$$ = \inf \left\{ \sum _{k=1} ^\infty \lambda(I_k) \middle| S \subseteq \bigcup _{k=1} ^\infty I_k, I_k \text{ are mutually disjoint open interval of }\mathbb R\right\} $$

로 정의한다. 이때 우변의 집합을 $\mathcal U_S$라 하자. (요컨대, $\mu_1(S) = \inf \mathcal U_S$)

방법 2. 임의의 $S \subseteq \mathbb R$에 대하여,

$$ \mu_2(S) = \inf \left\{ \sum _{k=1} ^\infty \lambda(I_k) \middle| S \subseteq \bigcup _{k=1}^\infty I_k, I_k \text{ are open interval of }\mathbb R\right\} $$

로 정의한다. 이때 우변의 집합을 $\mathcal K_S$라 하자. (요컨대, $\mu_2(S) = \inf \mathcal K_S$)

두 방법 중 어느 것으로 정의하든 동치임을 보이자. 임의의 집합 $S$에 대하여 $\mathcal U_S \subseteq \mathcal K_S$임은 자명하다. 따라서 $\mu_1(S) \ge \mu_2(S)$이다.

역을 보이기 위해서 다음 보조정리를 먼저 증명한다.

open $U \subseteq \mathbb R$에 대하여,

$$ \lambda^+(U) = \inf \mathcal K_U = \inf \left\{ \sum _{k=1} ^\infty \lambda(I_k) \middle | S \subseteq \bigcup _{k=1} ^\infty I_k, I_k \text{ are open interval of }\mathbb R \right\}$$

이 성립한다.

$\lambda^+(U) \in \mathcal K_U$ 인 것은 자명하다. $U$의 임의의 open interval cover $I_k$에 대하여, $U$를 disjoint open interval union $U = \bigcup J_k$로 나타내면, 임의의 $J_j$에 대하여 $I_i$가 존재하여 $J_j \subseteq I_i$를 만족한다.

($\because$) 그러한 $i$가 존재하지 않는다고 가정하자. 그러면 $I_l$가 존재하여 $J_j \cap I_l \ne \emptyset$, $J_j \setminus I_l \ne \emptyset$을 만족한다. $\{I_k\}$이 $U$의 open cover이므로, $J_j$의 open cover이기도 하다. 따라서 $J_j \cap (\bigcup _{k\ne l} I_k) \ne \emptyset$ 이다. 이는 $J_j$가 connected인 것에 모순이다.

이제 이러한 대응 관계를 $f: j \mapsto i$로 나타내자. 그러면 임의의 $i \in \mathbb N$에 대하여 다음을 보이면 충분하다.

$$ \sum _{j \in f^{-1}(i)} \lambda(J_j) \le \lambda(I_i) $$

만약 $I_i$가 unbounded이면 우변이 $+\infty$이므로 자명하다. 이제 $I_i$가 bounded라 하자. $\{J_j|j \in f^{-1}(i)\} = \{K_1, K_2, \cdots\}$로 이름을 붙이고, 부분합이 항상 $\sum _{k=1} ^n \lambda(K_k) \le \lambda(I_i)$를 만족함을 보일 것이다. 다음과 같이 또(!) 이름을 바꿔 붙이자.

$$ \{K_1, K_2, \cdots, K_n \} = \{ (a_1, b_1), \cdots, (a_n, b_n)\}, (a \le a_1 \le b_1 \le a_2 \le \cdots \le b_n \le b) $$

이때 $I_i = (a,b)$. 그러면 다음을 만족한다.

$$ \sum _{k=1} ^n \lambda (K_k) = \sum _{k=1} ^n b_k - a_k \le b_n - a_1 \le b-a = \lambda(I_i) $$

$$ \therefore \sum _{k=1} ^\infty \lambda(K_k) = \sum _{j \in f^{-1}(i)} \lambda(J_j) \le \lambda(I_i) $$

따라서,

$$ \lambda^+ (U) = \sum _{j=1} ^\infty \lambda(J_j) = \sum _{i=1} ^\infty \sum _{j \in f^{-1}(i)} \lambda(J_j) \le \sum _{i=1} ^\infty \lambda(I_i) $$

즉 $\lambda^+(U) = \inf \mathcal K_U$를 만족한다.

이제 본 명제로 돌아와서, 역으로 임의의 open interval $\{I_k\}$에 대하여, $U = \bigcup _{k=1} ^\infty I_k$라 두면, $\lambda^+(U) \le \sum \lambda (I_k)$이 성립함을 보조정리에서 알 수 있다. 따라서 $\mu_1(S) \le \mu_2(S)$를 만족하고, 따라서 $\mu_1(S) = \mu_2(S)$이다. 헥헥...

다음 편에서 이렇게 정의된 측도가 무엇을 만족하는 지 알아보도록 하자.