스털링 공식 (1)

PMA에 나와있는 증명이 영 마음에 들지 않아^[각주:1] 새로 정리했다.

다음을 증명하여라.

$$ \lim _{x \to \infty} \frac {\Gamma(x+1)}{(x/e)^x \sqrt{2\pi x}} = 1$$

이때 $\Gamma(x) = \int _0 ^\infty t^{x-1}e^{-t} dt$.

정리의 증명을 위해서 몇 가지 보조정리가 필요하다.

1. $a, b\in \mathbb{R}$에 대하여, $|e^a -e^b| \le e^b |a-b| e^{|a-b|}$.

2. $|u| < 1$에 대하여 $\left|\ln (1+u) - u + \frac{u^2}2 \right| \le \frac{|u|^3}3$.

3. $f_n, f \in \mathcal{R}[0, b]$ for any $b >0$, $\{f_n\}$ uniformly converges to $f$ on $[0, \infty)$. $\int _0 ^\infty f$가 수렴한다면 $\lim _{n \to \infty} \int _0 ^\infty f_n = \int _0 ^\infty f$.

4. $x > -1$일 때 $\ln (1+x) < x - \frac{5x^2}{6(2+x)}$.

1번은 평균값 정리와 $a \le b + |a-b|$에서 자명하고, 2는 $\ln (1+u)$의 테일러 전개와 교대급수의 성질에 의해 자명하며, 4은 미분으로 보일 수 있다.  3번은 uniformly convergence에서의 적분을 이상적분으로 확장한 것이다.

이제 본 정리의 증명을 해보자.

$$ \Gamma(x) = \int _0 ^\infty e^{x \ln t -t} dt = x^x \int _0 ^\infty \exp (x (\ln (t/x) - (t/x))) dt $$

put $t/x = u$ then,

$$ = x^{x+1} \int _0 ^\infty \exp(x (\ln u - u)) du $$

put $u = 1 + s/ \sqrt{x}$ then,

$$ = x^{x+1/2} e^{-x} \int _{-\sqrt{x}} ^\infty \exp \left[x \left(\ln \left(1+ \frac s {\sqrt x}\right) - \frac s {\sqrt x}\right)\right] ds = x^{x+1/2} e^{-x} \int _{-\infty} ^\infty \psi_x (s) ds $$

이때 $\psi_x (s) = \exp \left[x \left( \ln \left(1+ \frac s{\sqrt x} \right) - \frac s {\sqrt x} \right) \right] \chi _ {(-\sqrt{x}, \infty)} $이다. 그런데 L'hospital's Thm. 에 의해 $\psi_x (s) \to e^{-s^2/2}$임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, 우리는 먼저 $\psi_n(s)$가 $e^{-s^2/2}$로 uniformly converge 함을 보이고, 주어진 극한이 $x$가 실수일 때도 성립함을 보일 것이다.

한편 $f(s) = \left|n\left( \ln \left(1 + \frac s{\sqrt n} \right) - \frac s {\sqrt n} \right)  - \left(-\frac{s^2}{2}\right)\right|$이라 두면, $|s| / \sqrt n < 1$일 때 보조정리 1에 의해

$$|\psi_n(s) - e^{-s^2/2}| \le e^{-s^2/2} f(s) e^{f(s)}$$

가 성립한다. 그런데

$$ f(s) = n \left| \ln \left(1+ \frac s {\sqrt n} \right) -\frac s {\sqrt n} + \frac {s^2}{2n} \right| \le n \cdot \frac {|s|^3}{3n \sqrt n} $$

임을 보조정리 2에서 얻는다. 이제 다음을 증명한다.

$\psi_n(s)$ uniformly converge to $e^{-s^2}$ on $(-\infty, \infty)$.

i) $|s| < \sqrt n /2 $일 때,

$$ | \psi_n(s) - e^{-s^2/2}| \le e^{-s^2/2} \frac{|s|^3}{\sqrt n} e^{|s|^3/(3\sqrt n)} \le e^{-s^2/2}\frac{|s|^3}{\sqrt n} e^{s^2/3} = \frac{|s|^3}{\sqrt n} e^{-s^2 /6} $$

한편 $|s|^3 e^{-s^2/6} \le 27 e^{-3/2}$임을 간단한 미분을 통해 알 수 있다.

ii) $s > -\sqrt{n}$, $|s| > \sqrt{n}/2$이면 보조정리 4에 의해 다음을 만족한다.

$$\ln \left(1 + \frac s {\sqrt{n}}\right) - \frac s {\sqrt{n}} < -\frac{5s^2}{6(2\sqrt n + s)} < -\frac{5s^2}{6(2\sqrt n + |s|)} = -\frac{|s|(4|s|+|s|)}{6(2\sqrt n + |s|)} < - \frac {|s|}6$$

따라서 $\psi_n (s) < e^{-|s|/6}$를 만족한다. 이제 $\mathbb{R}$ 에서 $\psi_n(s)-e^{-s^2/2}$의 uniform norm은,

$$\lVert \psi_n(s) - e^{-s^2/2} \rVert _\infty \le \max\{ e^{-n/4}, \frac{27}{\sqrt n} e^{-3/2}, e^{-n/4} + e^{-\sqrt{n}/12}\} \to 0$$

그러므로 주어진 명제가 성립한다. 따라서 보조정리 3에 의해 다음이 성립한다.

$$\lim _ {n \to \infty} \frac{\Gamma(n+1)}{(n/e)^n \sqrt{2\pi n}} = 1$$

References: http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/ProbabilityTheory/Lessons/StirlingsFormula/GammaFunction/gammafunction.pdf

1. Riemann Integral에서의 Dominated Convergence Theorem을 사용한다. 이걸 쓰면 좀 더 쉽긴 한데, DCT의 증명이 어렵고, 개인적으로 Lesbegue Integral을 배우므로서 자연스럽게 얻게 되는 것을 미리 도입하는 것은 나쁘다고 생각한다. [본문으로]