유체역학 (2) - 압력

가만히 있는 유체에 힘이 작용한다면, 유체는 외력에 대하여 수직 항력을 작용할 것이다. 그렇지 않으면 힘의 평형이 깨져 유체가 움직일 것이다. 이때의 수직 항력 $N$과 그 힘이 작용하는 유체의 단면적 $A$에 대하여 다음을 압력이라 한다.

$$ p = \frac {N}{A} $$

이때 압력은 스칼라이다. 수직 항력은 항상 유체의 단면적에 대하여 수직이므로, 유체의 단면이 어느 방향인지 주어진다면(법선벡터가 주어진다면) 수직 항력의 방향을 알 수 있고 따라서 압력 자체는 방향이 없다.

층밀리기 변형력이 없다면 다음 성질을 얻는다.

층밀리기 변형력이 없는 유체에서는 임의의 점의 어느 방향에 대해서도 압력이 일정하다.

그 이유는 다음과 같다. 우리가 압력을 알고 싶은 어떤 방향을 법선으로 가지는 평면을 생각하자. 이 면을 빗면으로 가지는 직각삼각뿔을 그림과 같이 생각한다.

이때, 각 축 방향으로 작용하는 평균 압력을 $p_x, p_y, p_z$라고 하고, 각 방향에 수직인 면의 넓이를 $A_x, A_y, A_z$라 하자. 그러면 빗면의 넓이 $A$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} $$

빗면의 단위법선벡터를 $\mathbf{n} = (u,v,w)$라 두면, 빗면에 가해지는 압력을 세 축으로 분리할 수 있고, 각각 $pu, pv, pw$가 된다. 이제 이 직각삼각뿔 내의 유체의 질량을 $dm$이라 하고, 각 축방향으로의 가속도를 $a_x, a_y, a_z$라 두면 운동방정식을 세울 수 있다.

$$ A_x p_x - Apu = dma_x $$

$$ A_y p_y - Apv = dma_y $$

$$ A_z p_z - Apw = dma_z $$

이제 몇 가지 관계식을 이용하자. $\mathbf{n}$이 코사인벡터이므로 $Au = A_x, Av = A_y, Aw = A_z$이다.

따라서 각 축에 대하여 다음이 성립한다.

$$ p_x - p = \frac{dm} {A_x} a_x $$

이제, 직각삼각뿔을 닮음변환으로 축소시켜, $dm$을 $0$으로 보낸 극한을 취할 것이다. 그러면 $dm \to 0, A_x \to 0$이다. 이때 직각삼각뿔 내의 평균 밀도를 $\rho$라 하면,

$$ dm = \rho dV = \rho \sqrt{2A_x A_y A_z} = \rho A\sqrt{2A uvw} $$

$$ \therefore \frac{dm} {A_x} = \rho \sqrt{A\frac{2vw} {u}} \to 0$$

따라서, $p_x - p \to 0$이다. 이는 $p_y, p_z$에 대해서도 마찬가지로 성립한다. 이때 $p_x, p_y, p_z, p$는 그림의 점에 작용하는 압력이 된다. 따라서 임의의 점에 대하여,

$$p_x = p_y = p_z = p$$

이다. 특히나 임의의 점의 모든 방향에 대하여 그 압력은 같다.

층밀리기 변형력이 없는 경우는 1. 유체의 점성이 없거나, 2. 유체가 정지 상태일 때이다. 유체가 정지 상태라면 유체가 점성이 있더라도 임의의 점의 모든 방향에 대하여 그 압력은 같다.

압력에 대한 정의에서는 압력은 위치와 방향에 대한 함수 $p(\mathbf{x}, \mathbf{v})$로 나타낼 수 있다. 만약 층밀리기 변형력이 없는 경우 위치에 대한 함수 $p(\mathbf{x})$로 볼 수 있다.